Álgebra e Geometria Algébrica

Equipe e Interlocutores

A. Garcia, A. Hefez, A. Simis, K. O. Stöhr, I. Vaisencher and their collaborators especially at IMPA, UF. Pernambuco, UF. Fluminense.

S. Kleiman (MIT), H. Stichtenoth (Essen)

 

Sistemas Lineares sobre Curvas de Gorenstein

Existe uma extensa literatura sobre sistemas lineares em curvas não-singulares, e muitos destes resultados se estendem naturalmente para curvas de Gorenstein. Porém, existem fenômenos que somente podem ocorrer em curvas singulares. Um sistema linear pode ter um ponto de base, que não pode ser removido. Um tal ponto é necessariamente um ponto singular. Pretendemos fazer estudos locais, para analisar sistemas lineares em vizinhanças de pontos de base. Stöhr pretende classificar curvas de Gorenstein, equipadas com sistemas lineares de dimensão 1, e estudar as variedades de moduli.

 

Derivações e cotas para os graus de campos vetoriais tangentes a variedades projetivas

Seja N uma variedade projetiva e seja T_Ñ o módulo dos campos vetoriais tangentes ao cone afim projetante Ñ de N, isto é, o submódulo do módulo de campos vetoriais do espaço afim A_k^n+1 que mantêm Ñ invariante. Trata-se de um R-módulo graduado onde R é o anel de polinômios a n+1 indeterminadas sobre k. O objetivo final desta pesquisa é uma descrição razoável dos invariantes típicos de T_Ñ em termos de N. Um objetivo mais imediato, possivelmente menos ambicioso, é determinar cotas precisas para os graus dos campos vetoriais num conjunto mínimo de geradores homogêneos do módulo (excluindo os campos vetoriais tangentes triviais que se anulam em toda parte em N). Este problema vem sendo estudado no contexto de campos vetoriais analíticos complexos. O caso de uma hipersuperfície lisa foi obtido por M. Soares (UFMG); em seguida, uma prova elementar foi encontrada por E. Esteves (IMPA).

Simis apontou que o argumento era essencialmente conhecido por O. Zariski, através de um artigo de J. Lipman. De fato, de forma independente, este pesquisador havia anteriormente considerado o caso geral de uma interseção completa lisa usando um certo complexo de módulos. Estimulados pelo conteúdo nitidamente algébrico da questão, Esteves e este pesquisador colaboram para obter a resolução R-livre do R-módulo (I)+R^n+1, a partir da qual pode-se ler os graus procurados no primeiro módulo de sizigias deste último. (Aqui, (I) denota a matriz jacobiana de um conjunto mínimo de geradores homogêneos de I).

 

Teoria Algébrica de Singularidades

Teoria Algébrica de Singularidades foi praticamente fundada por Oscar Zariski à qual dedicou na década de 60 e início da década de 70 vários trabalhos célebres. Um problema central e ainda em aberto nesta teoria é a classificação analítica dos germes de curvas analíticas planas singulares e a construção dos respectivos espaços de Moduli. Temos trabalhado nesta questão obtendo alguns progressos significativos no sentido de determinar invariantes numéricos que viabilizem tal classificação. Esses invariantes são obtidos estudando o módulo de diferenciais de singularidades de curvas e calculados através de algoritmos que A. Hefez desenvolveu em conjunto com M. Hernandes.

Além de permitir desvendar a estrutura das famílias de curvas singulares, este estudo pode ser útil em geometria enumerativa, onde recentemente S. Kleiman e R. Piene têm usado teoria de singularidades de curvas planas para formular e resolver problemas enumerativos envolvendo curvas com singularidades de tipo prescrito. Isto abre a perspectiva de renovar a interação com esses pesquisadores.

Outros temas de investigação de Hefez são por um lado, o estudo dos anéis e módulos de operadores diferenciais sobre o anel local de uma singularidade de curva, onde pretendemos relacionar propriedades dos operadores com propriedades das singularidades. Este é um projeto conjunto com D. Levcovitz. Por outro lado, está investigando, juntamente com N. Kakuta, propriedades de famílias de curvas planas singulares em característica positiva, onde estamos verificando a validade ou não de resultados do tipo constante implica trivialidade topológica", de Lê-Ramanujan. Isto implicará na algebrização total da teoria que no estágio atual utiliza pesadamente técnicas topológicas e transcendentes.

 

Propriedades enumerativas de curvas

I. Vainsencher e L. Gatto estudam propriedades enumerativas de espaços de parâmetros de curvas. Há duas situações distintas. A primeira, trata de M_g, o espaço de módulos de curvas de gênero g ou uma sua compactificação adequada. Neste caso, o interesse primário é entender a geometria enumerativa de ciclos naturais. Para tanto, almejam achar uma fórmula tipo ?Porteous com excesso?, capaz de lidar com situações em que um mapa de fibrados vetoriais degenenera em codimensão errada, sob hipóteses razoáveis. Estão estudando já alguns exemplos significativos.

Uma tal fórmula poderia ser aplicada em inúmeras situações, e.g., o caso de divisores no espaço de módulos correspondentes a curvas com pontos de Weierstrass especiais, o estudo de relações no anel tautológico de M_g problemas relacionados com a teoria de Brill-Noether, inclusive para o caso de variedades de divisores especiais sobre curvas que não são de módulo genérico.

A outra vertente diz respeito à "situação pré-passagem ao quociente", ou seja, a tentativa de compreensão da componente do esquema de Hilbert de algumas curvas de gênero e grau baixos, adequadas a aplicações enumerativas via fórmula de resíduos de Bott. Pretende-se em particular determinar alguns números característicos, independente de dificuldades técnicas com a teoria de Gromov-Witten que parece fornecer apenas números virtuais desprovidos de interpretação enumerativa clara. Uma espécie de ensaio está sendo feito no momento para a família de 3 quádricas em P^3.

 

Genera de Curvas e Códigos Corretores de Erros

Um famoso teorema de A. Weil nos da uma cota superior para o número de pontos racionais de uma curva definida sobre um corpo finito. Esta cota se expressa em termos da cardinalidade do corpo finito e do gênero da curva. Este teorema é equivalente com a validade da Hipótese de Riemann para a função zeta associada, a qual foi introduzida por E. Artin.

O interesse em curvas algébricas com muitos pontos racionais sobre corpos finitos foi revitalizado após a introdução por V. D. Goppa dos Códigos Geométricos (também chamados de Códigos de Goppa). Uma utilização de grande impacto entre os especialistas (especialmente entre os engenheiros de Teoria da Informação) foi a construção, devida a Tsfasman-Vladut-Zink, de uma seqüência infinita de códigos com parâmetros limites acima da cota assintótica de Gilbert-Varshamov. Quando o número de pontos racionais de uma curva algébrica atinge a cota superior do teorema de A. Weil, dizemos que a curva e maximal. Um resultado devido a Y. Ihara limita o gênero de uma curva maximal em termos da cardinalidade do corpo finito. Assim temos dois problemas naturais a considerar (sobre um corpo finito fixado):

  1. Espectro do gênero Consiste na determinação dos gêneros possíveis para curvas máximas.
  2. Classificação: Consiste na determinação de todas as curvas máximas de um dado gênero.

Nestes problemas a iteração de A. Garcia tem se dado com os matemáticos: H. Stichtenoth, F. Torres, G. Korchmaros, e C. P. Xing.

Uma outra vertente da pesquisa de Garcia é o desenvolvimento de métodos efetivos para a construção de curvas com muitos pontos racionais sobre corpos finitos. Muitos pontos racionais significando um número próximo da melhor cota conhecida para curvas com o mesmo gênero. Aqui a iteração matemática tem se dado com G. Van der Geer, L. Quoos e A. Garzon. Finalmente abordo o tema principal de suas pesquisas recentes é a construção de seqüência infinita de curvas sobre corpos finitos, com gêneros crescentes, com limite positivo para a seqüência de razões do número de pontos racionais sobre o gênero. Este limite de razões é limitado superiormente por um resultado devido a Drinfeld-Vladut. Quando a cardinalidade do corpo finito e um quadrado, um resultado de Y. Ihara mostra que a cota de Drinfeld-Vladut e atingida. Este resultado e central na construção devida a Tfasman-Vladut-Zink mencionada anteriormente. No entanto, para a unitização efetiva em Teoria de Códigos, seria necessário que as curvas da seqüência infinita sejam explicitamente dadas por equações algébricas e que sejam conhecidas também explicitamente as coordenadas de seus pontos racionais. Esta linha é desenvolvida em conjunto com H. Stichtenoth (Essen).