Modelagem Matemática de Sistemas Biológicos e de Lingüística

Sistemas Biológicos

Nas três últimas décadas do século vinte ficou claro que os avanços nas ciências físicas e biológicas só poderiam ser abordados por enfoques matemáticos quantitativos e qualitativos apropriados. A complexidade de fenomênos que vão desde a propagação de ondas em meios aleatórios ao processamento e modelagem da expressividade de dados requer técnicas matemáticas sofisticadas, que incluem dinâmica não-linear, análise harmônica, equações diferenciais estocásticas, matemática computacional e problemas inversos. Algumas destas áreas que tem relação direta com a pesquisa prática e teórica que vem sendo desenvolvida no IMPA são as seguintes: imunologia, espécies em competição, problemas inversos em imageamento médico, visão computacional, expressão global do genoma e processamento de dados.

Esforços presentemente em andamento no IMPA incluem os grupos de J. Palis e M. Viana em Sistemas Dinâmicos, P.C.Pinto Carvalho em Computação Gráfica e Visão, J.P.Zubelli em Imageamento Médico, Matemática Computacional e Problemas Inversos. Os interlocutores que estão conectados com tais esforços nestas áreas incluem: F.A.Grünbaum (Berkeley), A.Hastings (U.C.Davies), J. Milnor (SUNY), D. Mumford (Harvard and Brown University), G. Papanicolaou (Stanford), K. Sigmund (Vienna).

Equipe e Interlocutores

L. Bevilacqua, R. Feijoo, A. Galeão, J. Koiller, W. Zin, J. P. Zubelli.

A. Hastings (University of California at Davies), M. Magnasco, (Rockefeller University), K. Sigmund, (University of Vienna).

Espécies Invasoras

Comecemos por ilustrar o tipo de questão. Considere uma comunidade ecologica em equilíbrio com n espécies. A adição de uma nova espécie pode resultar na expulsão (isto é, na extinção) de uma ou mais espécies (entre as pre-existentes e a invasora), ou em um novo equilíbrio com as n+1 especies convivendo. Esta questão se mostra relevante na compreensão da fixacão de mutações, na invasão física de um espaco por uma nova populacão ou mesmo na dinamica da dispersão de epidemias.

Existem varias abordagens possíveis, tais como, Sistemas Dinâmicos discretos ("Bifurcation Analysis of Population Invasion: on-off Intermittency and Basin Riddling", O. de Feo e R. Ferriere, Intern. J. of Bifurcation and Chaos, vol 10, n 2 (2000), 443-452), modelos tipo Lotka-Volterra ("The invasion question", A. Hastings, J. Theoret. Biol. 121 (1986), n 2, 211-220) ou teoria de jogos ("Invasion Dynamics of the Finitely Repeated Prisioner's Dilemma", M. Nowak e K. Sigmund, Games and Economic Behaviour 11, 364-390 (1995)).

Imunologia

A introdução de modelos do tipo Lotka-Volterra foi uma das principais contribuições da dinâmica populacional no século XX. Este é um ponto crucial de ligação entre biologia e matemática. Técnicas de sistemas dinâmicos foram aplicados sistematicamente para estudas este bem como outros modelos.

A maior compreensão da dinâmica do HIV, virus causador da AIDS, verificada na ultima decada e que tem levado a tratamentos mais eficientes, deve-se ao artigo "Antigenic Diversity Thresholds and The Developmento of Aids", M. Nowak, R. M. Anderson, T. F. W. Wolfs e R. May, Science 254, 963-969 (15 nov 1991) (252 citações em 25/4/01, do acordo com o Institute of Scientific Information). Neste, os autores desenvolve um modelo tipo Lotka-Volterra para as celulas do sistema imunologico e para a carga viral. O modelo matemático desenvolvido tem se mostrado util não apenas para a compreensão da dinâmica "in vivo" do HIV, mas tambem para o aumento da eficiencia de tratamento pelo coquetel de drogas (veja, por exemplo, "Production of resistant HIV mutants during antiretroviral therapy", R. Ribeiro e Sebastian Bonhoeffer, Proc. Nac. Acad. Sci. vol 14, pp 7681-7686 (1997)).

Relacionando Sistemas Dinâmicos com Modelos Biológicos

Uma abordagem de Sistemas Dinâmicos é essencial para a compreensão das cadeias alimentares ecológicas. É cada vez mais aceito que a abordagem tradicional, que consiste em determinar condições conduzindo a equilíbrios estáveis, não é suficiente para compreender o que permite que diferentes espécies coexistam em sistemas naturais. Há vários problemas em aberto relativos a dinâmica não-linear de interação entre espécies. Outro problema relacionado que requer uma abordagem similar é a compreensão da influência de espécies invasoras nos sistemas em que elas entram. Uma vez que essa influência se distribui em cascata através do ecosistema, os efeitos não-lineares podem conduzir a consequências surpreendentes. Mais uma vez métodos de dinâmica são necessários para prever tais efeitos.

A unificação de genética e da seleção natural foi obtida nos anos 30, de forma bem succedida através de um modelo de sistemas dinâmicos. A partir deste ponto o uso de ideias de modelos de sistemas dinâmicos na análise de modelos biológicos e ecológicos levou a uma marcante melhoria do nosso entendimento da sua evolução. Além dos, agora clássicos, estudos de ciclos limite em sistemas do tipo Lotka-Volterra, e o uso de ciclos homoclínicos e heteroclínicos (uma noção proveniente de mecânica celeste) na descrição de processos de invasão, podemos mencionar aplicações mais recentes de dinâmica caótica (como atratores estranhos) na modelagem da evolução de populações de animais. Estas ideias estão se mostrando igualmente úteis no entendimento da evolução natural tanto ao nível de moléculas como de especies. Um apanhado de progressos recentes nesta direção pode ser encontrado em ``Mathematical challenges from molecular evolution'' by P. Shuster, in Mathematics Unlimited - 2001 and beyond, Springer Verlag.

Modelagem Matemática de Fenômenos Biológicos

Nos últimos anos vários pesquisadores no IMPA e em outras instituições no Brasil e no exterior tem devotado uma parte substancial da sua atenção a diferentes aspectos da matemática que se encontra na interface com áreas relevantes da nossa vida diária. Uma destas áreas chaves é a de imageamento em medicina e problemas inversos. O problema básico aqui consiste em tentar encontrar de forma não invasiva as propriedades internas de corpos (ou objetos) usando somente informações de medidas externas de radiação.

Um exemplo clássico é o da Tomografia Computadorizada, cujos fundamentos matemáticos e algorítmicos sólidos levou a desenvolvimentos importantes. Esta importância foi confirmada com a outorga do premio Nobel a Cormack e Hounsfield. Um outro exemplo é a área de tomografia ótica por difusão, que busca imagear o interior de objetos através de radiação que se difunde e espalha. Um exemplo de tal radiação sendo freqüências na faixa do infra-vermelho. Em 1989, J.P.Zubelli, sob a orientação de F.A.Grünbaum em Berkeley iniciou o estudo do problema matemático de reconstruir o interior de objetos que difundem e espalham radiação através de algoritmos práticos e eficazes. Os resultados obtidos e algoritmos desenvolvidos por Grünbaum, Singer e Zubelli foram publicados no trabalho: Image Reconstruction of the Interior of Bodies that Diffuse Radiation." Science, # 248, (1990),990-993.

Hemodinâmica do Sistema Cardiovascular

Trata-se da elaboração de um programa computacional capaz de fornecer a resposta dinâmica do escoamento sanguíneo no espaço e no tempo no sistema arterial personalizado, isto é, reconstruindo a geometria dos vasos de um determinado indivíduo a partir das imagens tomográficas.Distinguem-se duas etapas:a)- Solução do problema de propagação do pulso, unidimensional, não linear, ( artérias com propriedades viscoelásticas, e geometria dependente da pressão ) com condições de contorno ( circulação periférica ) simuladas por ramificações caracterizadas por uma geometria fracionária. b)- Solução do escoamento em uma seção de artéria considerando a geometria tridimensional com condições de contorno obtidas da solução unidimensional. Esta solução fornece todos os detalhes do escoamento (vórtices, refluxo etc.) em seções com desvios patológicos ( estenosis, aneurismas etc) ou reconstruções cirúrgicas (bypass).

A solução do primeiro problema é obtida pela integração ao longo das caracterísiticas e do segundo pela formulação variacional e integração com o método dos elementos finitos. Note que o número extremamete grande de elementos exigiu o desenvolvimento de técnicas especiais de geração de malhas e otimização da solução. Estamos trabalhando também no desenvolvimento de técnicas de recuperção de imagens Os resultados tem sido validados com dados experimentais com excelente resultados.

Fisiologia e Dinâmica dos Sistema Respiratório

Trata-se de analisar a resposta dinâmica do pulmão à flutuação do fluxo de ar no ciclo-inspiração-expiração. Os modelos atuais procuram incluir as propriedades reológicas do pulmão, relativamente bem estudadas, em uma geometria discretizada e muito simplificada. Explora-se tanto o pulmão normal como a influência de lesões. A modelagem mais realística incluindo a bifurcação sucessiva do fluxo numa geometria formada por vários compartimentos (alveolos) bem como a elaboração de um modelo da membrana como um contínuo requer um esforço cooperativo entre biofísicos, engenheiros, físicos e matemáticos. Resultados recentes indicam que a distribuição dos capilares na membrana pulmonar é caracterizada por uma geometria fracionária. Na mesma linha o nosso grupo desenvolveu uma teoria demonstrando que é possível caracterizar a geometria de uma membrana confinada por sua medida fracionária. Além de melhorar a representação do pulmão como um contínuo para análise do comportamento dinâmico , esta abordagem conduz à uma questão crítica que pode abrir filões muito ricos. Resumidamente. Assumindo que a natureza otimiza os processos vitais, pode-se provar que a dimensào fractal da membrana pulmonar caracteriza a geometria que conduz as trocas bioquímicas de oxigenação ao rendimento máximo? Esta questão é excitante e pode ser estendida a outros processos bioquímicos e biofísicos (pele, glândulas) .

Movimento de Micro-Organismos

Trata-se da modelagem matemática e computacional do movimento de micro-organismos (bactérias e ciliados) e nas estimativas de eficiência do dispêndio de energia para vencer resistência hidrodinâmica. São desenvolvidas técnicas matemáticas de resolução analítica e numérica da equação de Stokes com geometria de fronteiras não convencionais (elipsoides, superfícies de revolução etc). Para as fronteiras com geometria muito complicadas (superfícies junto com curvas modelando flagelos), os métodfos de integral de fronteira necessitam de ser aperfeiçoados. A pesquisa prossegue no sentido de incluir novas informações biológicas (mecanismos internos de geração de forças - motores moleculares - sua coordenação e sua relação com o meio hidrdinâmico externo ). Para esse estudo uma técnica promissora é o método da fronteira imersa criado por C. Peskin.

Lingüística

Técnicas Probabilísticas de Identificação de Padrões, com Aplicações à Lingüística

O foco principal é o estudo de fenômenos críticos em campos e processos aleatórios. Esta é uma das principais sub-áreas da moderna Teoria da Probabilidade, desempenhando nas últimas décadas o papel de força motriz para diversos avanços matemáticos e cuja aplicação estende-se para um crescente número de áreas do conhecimento. Este grupo trabalha atualmente em modelagem probabilística em lingüística e tratamento de imagens. Esse desenvolvimento é um desdobramento natural da pesquisa constitutiva do grupo em mecânica estatística de sistemas fora de equilíbrio.

Sistemas de Partículas

A equipe é formada por A. Galves, P. A. Ferrari, L. R. Fontes (USP), A. Toom (UFPe) e C. Landim (IMPA). Colaboradores externos incluem alguns dos principais pesquisadores da área como Tom Liggett, Errico Presutti, Enzo Olivieri, Joel Lebowitz, Michail Menshikov e Pierre Picco.

Os Sistemas Markovianos de Partículas Interagentes com Infinitas Componentes, ou simplesmente Sistemas de Partículas, são utilizados para modelar sistemas com muitas componentes evoluindo no espaço e no tempo, seguindo regras simples de interação local. A motivação inicial provém do estudo de sistemas fora de equilíbrio em mecânica estatística. Um renovado interesse apareceu pela utilização de sistemas de partículas em métodos de Monte Carlo em inferência estatística e tratamento Bayesiano de sinais.

A complexidade destes modelos é conseqüência da enorme quantidade de eventos simples ocorrendo simultaneamente. Os problemas estudados atualmente incluem estudos da existência e caracterização de medidas invariantes, comportamento hidrodinâmico, convergência ao equilíbrio, metaestabilidade, convergência de algoritmos numéricos e simulação perfeita.

Este grupo mantém há mais de 20 anos uma intensa colaboração com centros internacionais participando como conferencistas e organizadores nos principais congressos da área e recebendo financiamentos de agências brasileiras e internacionais. Seus membros participam de comitês editoriais das principais revistas da área.

Também tem participado ativamente na formação de jovens pesquisadores atraindo estudantes de doutorado de toda América Latina e recentemente da Rússia. Jovens pós doutores europeus, latino-americanos e brasileiros tem participado sistematicamente dos projetos do grupo.

Técnicas probabilísticas de identificação de padrões, com aplicações à lingüística

Trata-se de um projeto interdisciplinar, envolvendo os probabilistas P.Ferrari, L. R. Fontes, A. Galves(USP), C. Landim (IMPA), N. L. Garcia (UNICAMP), a lingüista C. Galves (UNICAMP) e o computólogo A. Mandel (USP). Chang Dorea (UNB) trabalha na área anexa de inferência em processos estocásticos.

A equipe principal é completada por uma equipe de colaboradores externos do mais alto nível, incluindo os lingüistas Anthony Kroch (UPenn), Marina Nespor (Ferrara) e Jean-Roger Vergnaud (USC), os físicos estatísticos Marzio Cassandro (Roma), Pierre Collet (CNRS), Xavier Bressaud (Marseille) e Roberto Fernández (Rouen) e o estatístico Ricardo Maronna (La Plata).

Este projeto tem dois objetivos principais interligados. Do lado da Teoria das Probabilidades, o desenvolvimento do ferramental necessário à identificação de padrões em trajetórias de processos estocásticos. Do lado da Lingüística, a utilização dessas ferramentas para identificar os padrões rítmicos característicos e distintivos do Português Brasileiro e do Português Europeu Moderno.

Do ponto de vista da Teoria das Probabilidades, esta pesquisa se inscreve no quadro do estudo de processos estocásticos com memória de longo alcance, as chamadas Cadeias com Conexões Completas. A modelagem dos padrões rítmicos em línguas naturais é uma questão na fronteira da pesquisa em lingüística. Uma questão técnica da maior importância é a identificação automática das vogais e consoantes. Essa questão, de importância científica e tecnológica evidente não pode ser abordada com técnicas correntes na Teoria das Séries Temporais.

O projeto está sendo desenvolvido desde 1994. Ele recebeu apoio como projeto temático da FAPESP, tem participado ativamente na formação de jovens pesquisadores atraindo estudantes de doutorado e pós doutores. Ele está constituindo o corpus eletrônico anotado de português histórico Tycho Brahe disponível na rede para pesquisadores acadêmicos (http:/www.ime.usp.br/~tycho).