Equações Diferenciais Parciais

A área de Análise e Equações Diferenciais Parciais é uma das que mais cresce e se espalha por todo território nacional. Esta área representa um fundamento essencial para diversas outras áreas da própria matemática e, principalmente, aplicações. Há grupos de pesquisa importantes no eixo Rio-São Paulo, notadamente no IMPA, LNCC, UFRJ, UNICAMP, USP e UFSCar, bem como em Pernambuco, na UFPE, em Brasília, na UNB, e também em centros emergentes e menos tradicionais, ou mesmo isolados, no Sul (e.g., Florianópolis, UFSC, Maringá, UEM, Londrina, UEL), no Nordeste (e.g., João Pessoa e Campina Grande, na UFPB, Fortaleza, na UFCE) e no Centro-Oeste (Goiania, na UFGO). Uma apresentação das linhas de pesquisa em Análise e Equações Diferenciais Parciais mais expressivas no quadro nacional é feita a seguir.

Equipe e Interlocutores

D. Figueiredo and his group at UNICAMP and UnB, H. Frid, J. P. Zubelli, J. Hounie, P. Cordaro, R. Iório, C. Tomei, A. Loula, D. Marchesin, A. Nachbin

J. Bona, A. Grunbaum, P. Markowich, F. Treves

Equações da Dinâmica dos Fluidos, da Mecânica do Contínuo, Termodinâmica e Leis de Conservação:

Aí estão englobados sistemas célebres como os das equações de Euler e Navier-Stokes para fluidos invíscidos, viscosos, compressíveis e incompressíveis, de importância central em engenharia mecânica, oceanográfica, aeronáutica e aero-espacial, as equações quasi-geostróficas, que modelam o movimento de fluidos na atmosfera, entre outros, com aplicações em meteorologia e climatologia. As equações da elasticidade não-linear, da magnetohidrodinâmica, cromatografia, escoamento de fluidos em meios porosos (e.g. reservatórios petrolíferos), equações da teoria cinética dos gases (como Boltzmann, Maxwell-Vlasov), visco e termo-elasticidade, etc.. Trabalham nessa linha de pesquisa, entre outros, Hermano Frid e Dan Marchesin, IMPA, Gustavo Perla e Jaime Rivera, LNCC, Ricardo Rosa, UFRJ, Helena N. Lopes, Milton Lopes, J.L. Boldrini, M. A. Rojas-Medar, Marcelo Santos, UNICAMP, Jorge Hounie e Cezar Kondo, UFSCar, Clodoaldo G. Ragazzo, USP. No âmbito da América do Sul, podemos citar intercâmbios com pesquisadores do Chile, notadamente Carlos Conca, e da Colômbia, notadamente Yunguang Lu e Leonardo Rendon. Existe uma intensa articulação com diversos pesquisadores do mais alto nível no plano internacional, entre os quais destacamos Constantine Dafermos, da Brown University, EUA, Gui-Qiang Chen, Northwestern University, USA, e P.-L. Lions, Universidade de Paris XIII, França.

Equações Dispersivas Não-Lineares e Problemas Inversos:

Aí estão englobadas equações como a KdV, Benjamim-Ono, Schrödinger linear e não-linear, K-P, etc., que constituem modelos para a propagação de ondas em canais, em plasmas, modelos em física atômica, mecânica quântica, etc.Os Problemas Inversos em Teoria do Espalhamento surgem em aplicações importantes como tomografia computadorizada, métodos não-invasivos em magnetocardiografia, prospecção sísmica e de petróleo, etc. Trabalham nessa linha de pesquisa, entre outros, Rafael Iório, Felipe Linares, Jorge Zubelli, IMPA, Carlos Tomei, PUC, Gustavo Perla, LNCC, Hebe Biagioni, Marcia Scialom, Jaime Angulo, Orlando Lopes, UNICAMP, Eduardo Alarcon, UFGO, Fábio B. Montenegro, UFCE, Edson Lueders, UEL. No âmbito da América do Sul, podemos citar intercâmbios com pesquisadores da Colômbia, notadamente Guilhermo Rodriguez e Felix Soriano, e da Argentina, notadamente Diego Rial. Há uma intensa cooperação com pesquisadores do mais alto nível no plano internacional, dentre os quais destacamos, Jerry Bona, da Universidade do Texas, em Austin, TX, EUA, e F.A. Grunbaum, Universidade da California em Berkeley, Peter Markowich, Universidade de Viena, Austria.

Equações Elíticas Lineares e Não-Lineares:

Aí estão englobadas equações da geometria (e.g., superfícies mínimas), equações provenientes de problemas variacionais de diversos tipos, fluidos estacionários, elasticidade, plasma, filtração através de meios porosos, teoria do potencial, etc.. Trabalham nessa linha de pesquisa, entre outros, Hermano Frid, Rafael Iório, IMPA, Djairo G. Figueiredo, Orlando Lopes, Helena N. Lopes, UNICAMP, José Valdo Gonçalves, Elvis Alves, UNB, Ana Maria Bertone, Claudianor Alves, D. C. Moraes Filho, J. M. Bezerra do Ó, UFPB. Há intensa articulação com pesquisadores do mais alto nível no plano internacional, entre os quais destacamos L. Nirenberg, Courant Institute, NY, Paul Rabinovitch, Universidade de Wisconsin, EUA, L. Caffarelli, Universidade do Texas, Austin, TX, EUA.

Operadores Pseudo-diferenciais, Análise Microlocal, Análise Harmônica e Equações Hiperbólicas Lineares e Não-Lineares:

Aí estão englobadas as equações hiperbólicas lineares e não-lineares, onipresentes na Matemática-Física, onde figuram, além de outras já citadas, as equações de Einstein, da relatividade geral, e de Yang-Mills, da mecânica quântica relativística, entre outras. Nessa linha de pesquisa trabalham, entre outros, Hermano Frid, Felipe Linares, Jorge Zubelli, IMPA, Jorge Hounie, Adalberto Bergamasco, José Ruidival Santos Filho, UFSCar, Paulo Cordaro, P.P. Schirmer, Severino Toscano R. de Melo, USP, Helena N. Lopes, UNICAMP, Fernando Cardoso, Maria Luiza Leite, Joaquim Tavares, UFPE. Há intensa cooperação com pesquisadores do mais alto nível no plano internacional entre os quais destacamos, além de alguns já citados, François Treves, Universidade de Rutgers, NY, EUA.

Equações Diferenciais não-lineares:

Detalhamos alguns objetivos de pesquisa do grupo de D. Figueiredo na UNICAMP e na UnB: estudo das propriedades de soluções de equações diferenciais ordinárias e parciais, nomeadamente, existência, unicidade, multiplicidade, simetria, comportamento assintótico, propriedades qualitativas, controlabilidade, implementação, e convergência de aproximações numéricas.

Neste grupo participam O. Lopes, M. A. Teixeira, J. L. Boldrini, J. V. Gonçalves, E. Silva, H. Biagioni, M. Lopes, H. N. Lopes, Y. Jianfu, M. Scialom, K. Rezende, J. Ângulo, M. Santos, M. Casarin, M. Rojas.

Teoria Geométrica das Equações Diferenciais Parciais e Várias Variáveis Complexas:

A área de investigação do grupo de P. Cordaro, J. Hounie, e A. P. Bergamasco e seus colaboradores versa sobre sistemas involutivos de EDP's lineares de primeira ordem. Algumas das questões mais relevantes abordadas são:

• Estudo das propriedades gerais das soluções dos sistemas homogêneos como, por exemplo, propriedades de aproximação, de propagação de singularidades, de suporte, de hipoanaliticidade.
• Resolubilidade local do complexo diferencial associado a um dado sistema.
• Sistemas involutivos de EDP's de primeira ordem não lineares.
• Problemas globais e formas normais.

É importante observar que resultados conhecidos (e mesmo clássicos) válidos para estruturas complexas e de Cauchy-Riemann encontram um contexto natural dentro da teoria dos sistemas involutivos e a análise sob tal ponto de vista tem levado a resultados novos e relevantes, que certamente esclarecem e aprofundam a teoria já estabelecida.

O grupo mantém forte colaboração internacional, especialmente com F. Treves (Rutgers University), S. Berhanu (Temple University), A. Meziani (Florida Int. University) X. Gong (Un. Wisconsin, Madison), A. Himonas (Un. Notre Dame).