Geometria Diferencial

Muitos temas considerados centrais na pesquisa em Geometria Diferencial, nos nossos dias, situam-se na interface entre a Geometria e a Análise. Como no passado, problemas de caráter puramente geométrico são transformados em problemas de Análise e vice-versa e suas soluções são buscadas através da aplicação de técnicas específicas de cada uma das áreas. Neste contexto se situa uma boa parte da pesquisa brasileira em Geometria Diferencial.

Equipe e Interlocutores

J. L. Barbosa, M. do Carmo, M. Dajczer and their collaborators at UF Ceará, UF Alagoas, UF Piauí, UF Rio de Janeiro, UF Espírito Santo, PUC-Rio, UF São Carlos.

P. Bérard (University of Grenoble), D. Gromoll (State University of New York), H. Rosenberg (University of Paris ? Jussieu)

Imersões com Curvatura R-média Constante

Este tópico recebeu um grande impulso no momento em que se pode demonstrar que a positividade de tais curvaturas implicava na elipticidade das equações que as representavam. Esta descoberta permitiu que se demonstrassem teoremas de existência e unicidade de tais imersões. Este é um estudo em pleno andamento, particularmente no que concerne a imersões no Espaço Hiperbólico e a imersões tipo espaço em variedades de Mikowsky. O próprio estudo da estabilidade de tais exemplos, questão que se tem revelado central, inclusive para aplicações, tem sido tratado através do exame das equações de Jacobi resultantes, e da introdução de hipóteses apropriadas para garantir a sua elipticidade.

Trabalho recente de J. Lucas Barbosa (UFC) e Francesco Mercuri (UNICAMP) considerou uma classe de hipersuperfícies, caracterizada por propriedades geométricas e topológicas e não por equações, e mostrou que para tal classe, valem resultados que antes se pensava verdadeiros apenas no contexto da teoria das superfícies mínimas. Aplicações deste resultado para novos desenvolvimentos da teoria das superfícies mínimas estão em estudo neste momento.

Superfícies Mínimas

Estabilidade e índice de Morse de superfícies mínimas e de hipersuperfícies de curvatura média constante maior ou igual a zero. Pesquisas sobre hipersuperfícies do espaço euclideano com curvatura escalar constante. Superfícies mínimas e de curvatura média constante têm profundas relações com a Análise e a Teoria da Capilaridade. A curvatura escalar aparece naturalmente nas equações da Relatividade.

Estes temas de pesquisa são estudados por Manfredo do Carmo e outros pesquisadores, especialmente H. Alencar, F. Brito, M. F. Elbert, K. Frensel, L. Lima, F Marques, J. Ripoll, W. Santos.

Teoria das Subvariedades

M. Dajczer (IMPA-Brasil), Detlef Gromoll (SUNY-USA), Ruy Tojeiro (UFSC-Brasil), Luis A. Florit (IMPA-Brasil), Fang Yang (USA) and Carlos Olmos (UNC-Argentina) fazem parte de um grupo de pesquisa dedicado ao estudo de diferentes aspectos da teoria das subvariedades (imersões isométricas e conformes), um ramo da Geometria Diferencial. Até o presente o grupo tem publicado mais de 35 trabalhos de pesquisa com autoria de pelo menos dois membros do grupo. Também interagimos fazendo pesquisa e proferindo conferências elementares e avançadas em outros centros de matemática no Brasil, como: Fortaleza, Porto Alegre, Belo Horizonte, Campinas, São Paulo, Rio de Janeiro, etc.