Probabilidade e Processos Estocásticos

Transição de Fase Dinâmica e Percolação

Esta linha vem sendo pesquisada por V. Sidoravicius e M. E. Vares. Os principais colaboradores externos são E. Presutti, M. Cassandro, G. Jona Lasinio, F. Martinelli, H. Kesten, C. Newman.

Uma área muito ativa na pesquisa em probabilidade e que começou a crescer desde o final da década de 1970 refere-se a sistemas Markovianos interagentes, com muitas componentes. Problemas básicos referem-se a transição de fase dinâmica, limites de re-escalonamento ou hidrodinâmico, comportamento a tempos longos, metaestabilidade, separação de fases e estrutura espacial relacionada. Sem dúvida, esse assunto oferece uma enorme gama de possibilidades de interação com outros campos da matemática e aplicações a outras áreas. A interação de probabilistas brasileiros com vários grupos de pesquisa na Itália e nos Estados Unidos tem sido extremamente frutíferas.

Bastante relacionada, e vindo de problemas "honestamente" aplicados, a teoria mate-mática de percolação situa-se sem dúvida, nas últimas duas décadas, como uma das mais ativas e influentes subáreas da teoria de probabilidade. Apesar de sua natureza aplicada, e muitas vezes problemas "fáceis de colocar" as questões provindas dessa teoria muitas vezes têm levado ao desenvolvimento de novos e profundos métodos e técnicas, o que nos últimos tempos encontrou amplas aplicações à mecânica estatística, teoria da ciência da computação e à própria teoria da probabilidade, includindo sistemas markovianos interagentes.

Nos últimos anos a teoria de percolação deu um novo salto devido à combinação de seus próprios métodos e idéias "clássicos" com aqueles de análise complexa, teoria ergódica e teoria de movimento Browniano, que levou, por exemplo, a um progresso significativo em teoria de escalas e invariância conforme. Por outro lado, o constantemente crescente interesse da teoria de grafos e teoria da ciência da computação tem levado à consideração de novas importantes questões e, como consequência, novas idéias e técnicas com possí veis aplicações à analise combinatória e lógica matemática.

Nesse sentido Sidoravicius e Vares estão desenvolvendo projeto específico, em constante colaboração com H. Kesten (Univ. de Cornell). Exemplificando o tipo de problemas temos ?percolação em meio aleatório altamente dependente" (HDRE), sucintamente descrito abaixo:

Recentemente, Vares e Sidoravicius observaram que alguns problemas conhecidos e relacionados com a compatibilidade de sequências binárias, que foram colocados no final dos anos 1980 por teoretistas de grafos e informação (e.g. P. Winkler, Bell Labs) podem ser reformulados como problemas de percolação orientada em HDRE. Isso da um tratamento totalmente novo a um problema cuja natureza combinatória é bastante complicada.

Em uma sequência de trabalhos ainda em andamento (conjuntamente com H. Kesten) estão desenvolvendo novas técnicas de renormalização multi-escala, que podemos com sucesso aplicar para responder uma variedade de questões interessantes que estão ou diretamente relacionadas com o problema de compatibilidade, como o processo de contato em HDRE, ou têm interesse independente, e nessa direção podemos rigorosamente estabelecer transição de fase em percolação de sequencias binárias em perfis aleatórios.

No momento estão trabalhando na questão principal da compatibilidade de sequências binárias, o que requer técnicas de renormalização multi-escala ainda mais elaboradas, combinadas com estimativas combinatóricas.