Sistemas Dinâmicos

O tema geral de estudo da Dinâmica são os sistemas cujo estado evoluiu no tempo, tais como são encontrados nas mais diversas áreas da Ciência e da atividade humana: Física, Ecologia, Metereologia, Biologia, Economia, e tantas outras disciplinas. A área tem portanto uma vocação plenamente multi-disciplinar.

A lei de evolução pode assumir diversas formas; iterações, equações diferenciais, equações as derivadas parciais, transformaçes ou fluxos estocásticos. O objetivo é construir uma teoria matemática desses processos dinâmicos, que permita compreender e prever a sua evolução, sobretudo no longo prazo, também tendo em vista as inúmeras aplicações práticas. Para isso são usados métodos das mais diversas áreas da Matemática, tais como a Geometria, Análise, Álgebra, Topologia e Probabilidade.

Equipe e Interlocutores

C. Camacho, M. J. Dias Carneiro, C. Gutierrez, A. Lins Neto, W. de Melo, H. Munhoz, M. J. Pacifico, J. Palis, M. Peixoto, P. Sad, M. Soares, M. A. Teixeira, M. Viana

M. Lyubich (State Univ. of New York), J. Milnor (State Univ. of New York), R. Moussu (University of Dijon), J.-C. Yoccoz (Collège de France)

Dinâmica Real e Teoria Ergódica

W. de Melo, C. Moreira, J. Palis, M. Viana (IMPA), L. J. Diaz, (PUC-Rio), M. J. Carneiro (UFMG), C. Morales, M. J. Pacifico, E. Pujals (UFRJ), A. Lopes (UFRGS), E. de Faria (USP) tem estudado sistemas dinâmicos desde um ponto de vista global, tanto geométrico quanto probabilístico, visando especialmente desenvolver uma teoria geral de sistemas ditos caóticos, que exibem comportamento fortemente complicado e imprevisível.

Alguns temas específicos de pesquisa são: existência de atratores e medidas invariantes; fenômenos homoclínicos e dimensões fractais; dinâmica de transformaçoes do círculo e do intervalo; atratores de fluxos e o fenômeno de Lorenz; sistemas lagrangeanos e hamiltonianos; robustez dinâmica e hiperbolicidade parcial.

O grupo mantém intensa colaboração com pesquisadores em diversos países, especialmente a Franca, Estados Unidos e Suécia: J. C. Yoccoz, J. Milnor, M. Lyubich, M. Benedicks, C. Bonatti. Além disso, tem forte presença internacional através da participação nas principais conferências, em organizações científicas internacionais e em corpos editoriais de diversos periódicos da área.

Também mantém intensa atividade, com impacto global no Brasil e na América Latina, na formação de jovens pesquisadores muito talentosos, que vem sendo incorporados a centros emergentes de pesquisa no País, especialmente UF Ceará, UNESP S Jose do Rio Preto, UF Fluminense, e UF Bahia.

Dinâmica e folheações complexas

C. Camacho, A. Lins Neto, P. Sad (IMPA), M. Soares (UFMG), M. Sebastiani, I. Pan, L. G. Mendes (UFRGS) tem-se devotado ao estudo de Folheações Complexas. Esta é uma área nascida de Sistemas Dinâmicos que usa técnicas de Análise Complexa e geometria Algébrica para analisar problemas de natureza global ou local que surgem muitas vezes de questões da Dinâmica Real.

Alguns das suas linhas atuais de pesquisa incluem: invariantes analíticos de folheações, conjuntos limites de folheações, estratificação do espaço de folheações, ações tangentes a folheações algébricas, dinâmica transversal a subvariedades reais.

O grupo mantém forte colaboração com pesquisadores em diversos países, especialmente Franca, Espanha e Japão: R. Moussu, M. Brunella e D. Cerveau, entre outros. Os seus pesquisadores participam regularmente, como conferencistas convidados, nas principais reuniões científicas internacionais, especialmente na Europa. O grupo está absorvendo alguns jovens pesquisadores de muito talento, que estão se formando no IMPA.

Decomposição focal

O conceito de decomposição focal foi introduzido nos anos 1980 no contexto do problema de contorno por dois pontos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Verificou-se que ele se relaciona de maneira natural com objetos tão diversos quanto a quantização semi-clássica via integrais de Feynman, as zonas de Brillouin da física do estado sólido, a aritmética das formas quadráticas positivas definidas. Esta pesquisa será levada a efeito por M. Peixoto em colaboração com I. Kupka, C. Pugh, A. R. da Silva.

Sistemas Dinâmicos e Equações Diferenciais

Os seguintes temas serão estudados por C. Gutierrez e seus colaboradores:

• Com J. Llibre (Barcelona), Milton Cobo (UNICAMP) e A. Sarmiento (UFMG): problemas de injetividade de aplicações planares, de classe C^1, e sua correlação com campos de vetores planares, de classe C^1 que são assintóticamente estáveis no infinito.
  
  
• Com M. Cobo (UNICAMP), A. López (do ICMC-USP) e R. de la Llave (Universidade do Texas): problemas de transformações generalizadas de intercâmbio de intervalos e folheações suaves, em variedades bidimensionais.
  
  
• Com R. Oliveira (UEstadual Maringá) e R. Garcia (UF Goias): determinação dos retratos de fase de equações diferenciais binarias.
  
  
• Com B. Swaiter (IMPA) e C. Biasi (ICMC-USP): injetividade local e global de aplicações do R^n nele próprio.

Teoria qualitativa das equações diferenciais da geometria clássica

Projeto de pesquisa de J. Sotomayor e seus colaboradores:

• Descrição dos diagramas de bifurcação de codimensão um e dois de pontos umbílicos em superfícies imersas em R^3. Pesquisa em colaboração com C. Gutierrez (ICMC) e R. Garcia (UFG)
  
  
• Estudo de linhas de curvatura e linhas de curvatura axial em superfícies de codimensão dois, imersas em R^4. Pesquisa em colaboração com R. Garcia (UFG).
  
  
• Estudo de pontos parcialmente umbílicos e umbílicos em hipersuperfícies do R^4. Pesquisa em colaboração com R. Garcia (UFG)
  
  
• Estudo de estabilidade e bifurcações de classes de campos de vetores planares (lineares por partes, de Lipschitz). Colaboração com D. Henry (IME-USP) e R. Garcia (UFG)
  
  
• Estabilidade Estrutural e Bifurcações dos Campos de Vetores Descontínuos e sua relação com as convenções de Filippov, em termos do método da regularização. Projeto em colaboração com D. Panazzolo (IME-USP), R. Garcia (UFG), A. L. Machado (UNIP) e Adolfo Guzmán (IME-USP).

Sistemas completamente integráveis

É dada uma equação diferencial (ordinária ou parcial), ou uma equação de diferenças, e procura-se uma troca de variáveis que a linearize. Se possível, o processo tem várias conseqüências: uma solução explícita para a equação original, a demonstração da própria existência das soluções ou a constatação de outras propriedades específicas, a criação de interpolações entre os valores de soluções das equações de diferença, a descrição de um conjunto de leis de conservação para as soluções. De forma mais técnica, as trocas de variáveis dão origem a uma classe de problemas inversos, muitas vezes de interesse independente. O assunto é um dos mais interdisciplinares em matemática, e emprega técnicas às vezes sutis de grupos de Lie, geometria simplética, geometria algébrica, análise funcional, variável complexa.

Os seguintes tópicos específicos são estudados por C. Tomei:

• Equações diferenciais: As aplicações da teoria dos problemas diretos e inversos para operadores diferenciais de ordem n, desenvolvida por Beals (Yale), Deift (NYU) e Tomei, estão longe de se esgotar.
  
  
• Teoria espectral e análise numérica matricial: As trocas de variáveis linearizantes freqüentemente fazem uso de informação espectral de operadores lineares, ou, em dimensão finita, matrizes. Isso permite o emprego de equações diferenciais para o estudo de teoria espectral, com aplicações imediatas à análise numérica (cálculo de autovalores e valores singulares, estabilidade de grandes matrizes em sistemas hidroelétricos).

As não linearidades encontradas em sistemas completamente integráveis, em um certo sentido, são falsas ? elas desaparecem depois de uma troca de variáveis apropriada. Certas situações entretanto são genuinamente não lineares, e não podem ser tratadas pelas técnicas acima.

Aspectos locais e topológicos de funções não lineares: Usando paralelamente técnicas locais (teoria de singularidades) e globais (extensões do grau topológico e topologia de dimensão infinita), procedeu-se a um estudo da geometria global de certas funções não lineares, começando por funções do plano no plano, passando por operadores diferenciais não lineares ordinários de primeira ordem, e em andamento, operadores não lineares de Sturm-Liouville. As aplicações em análise numérica são uma linha intensa de pesquisa.

Otimização: A prática surgida do estudo de problemas não lineares tornou possível a abordagem de problemas de otimização não convexa em planejamento hidroelétrico (tese de doutorado de aluno de Tomei, com versão expandida já submetida). A pesquisa continua com colaboradores de Tomei na própria PUC-Rio e engenheiros elétricos.

Comportamento Assintótico e Bifurcação de Equações não Lineares

No estudo de estabilidade e robustez com relação a variação de parâmetros, necessitamos frequentemente obter estimativas uniformes de atratores que sejam independentes dos parâmetros, quando estes variam em um determinado conjunto. Assim, procuramos estabelecer resultados abstratos, em geral utilizando funções do tipo Lyapunov, que nos permitam construir concretamente estas estimativas em problemas aplicados, sendo estes últimos em geral de comportamento complexo. Esses resultados são utilizados em análise de estabilidade, controle e sincronização. Assim sendo, H. Munhoz e seus colaboradores estão aplicando-os no estudo da estabilidade de sistemas de potência, tendo já obtido duas publicações em excelentes revistas internacionais. J. G. Ruas Filho também colabora neste assunto.

Uma aplicação interessante, ainda nesta linha, está sendo desenvolvida por H. Munhoz, M. F. Gameiro, M. G. Simões e E. C. de Souza, onde aplicam essas idéias a um problema de sistemas de comunicação, em codificação e decodificação de sinais. Já foi possível construir um protótipo de um codificador-decodificador, utilizando sistemas caóticos e DSP.