Economia Matemática e Finanças

Pesquisa na área de Matemática Financeira já vem sendo desenvolvida na seqüencia da criação de programas de mestrado na USP de São Paulo, no IMPA, bem como em outras instituições. Alguns resultados preliminares, especialmente por J.P.Zubelli, já existem e projetos em colaboração com G.Papanicolaou são mencionados abaixo:

Uma opção é um contrato que dá ao possuidor o direito de negociar no futuro a um certo preço pré-estabelecido. O uso de tais instrumentos chamados de "derivativos" em mercados financeiros modernos se tornou tão importante que o seu volume cresceu para ser comparável com os chamados mercados primários. Uma das razões principais sendo que opções são usadas amplamente como uma forma de proteção contra as flutuações dos valores de preços de produtos e bens.

Um dos problemas centrais em mercados de derivativos é o de precificação. Ele envolve técnicas matemáticas bastante sofisticadas tais como análise estocástica, equações diferenciais parciais, e otimização. O prêmio Nobel de 1997 em Economia foi outorgado a Robert C. Merton e Myron S. Scholes pelo seu trabalho, em colaboração, com Fisher Black, no desenvolvimento do modelo de Fischer-Black de precificação de opções. Black, que havia falecido em 1995, teria indubitávelmente também sido agraciado com o prêmio caso ainda estivesse vivo.

A fórmula de Black-Scholes é um equação diferencial parcial parabólica que relaciona o preço de derivativos ao preço atual das ações subjacentes em termos de parâmetros de mercado, sendo dentre estes o mais importante e de difícil obtenção a volatilidade. O problema de obter a volatilidade de forma estável, que é conhecido como o problema de calibração do modelo, é bastante difícil e pertence ao domínio dos chamados Problemas Inversos. Um assunto que vem atraindo o interesse de vários matemáticos de renome e que tomou uma vida própria.

O modelo usual de Black-Scholes assume uma volatilidade constante. Porém, já é bem aceito no momento, que a despeito de sua simplicidade, o modelo de Black-Scholes não é capaz de capturar fenômenos de mercado modernos. Isto tornou-se ainda mais claro após a quebra da bolsa de 1987. Uma extensão natural do modelo de Black-Scholes é modificar a especificação da volatilidade para torná-la um processo estocástico. Isto leva a uma área fascinante de pesquisa que combina equações diferenciais parciais, estatística, e análise numérica. Um avanço significativo neste campo foi feito por Papanicolaou, Fouque, e Sircar recentemente, que descrevem no seu livro "Derivatives in financial markets with stochastic volatility" um método para modelagem, análise, e estimação que explora a rápida reversão à média da volatilidade.

A curto prazo, uma área que vem sendo investigada é a validação dos métodos propostos pelo grupo de Papnicolaou através da análise de dados reais provenientes de diferentes mercados como o IBOVESPA, FOOTSE, DAX, etc. Isto leva a problemas interessantes de análise de dados. Alguns resultados preliminares obtidos por J. P. Zubelli em conjunto com C. Ibsen e H. Moreira indicam a validade da hipótese de reversão rápida à média e levam a novas questões de interesse que são conseqüências naturais da metodologia proposta por Papanicolaou e colaboradores.

Mencionamos também o sólido e muito bem sucedido programa de Economia Matemática em torno de A. Araujo e seus colaboradores.